להצעת מחיר ללא התחייבות לכתיבת סמינריון צרו קשר:

>>צור קשר<<

1.סקירת ספרות

1.1.יצירתיות מתמטית

1.1.1.הגדרות שונות ליצירתיות

באופן מסורתי אמורה היצירתיות להתייחס למדעי האומנות והספרות, אך בימינו נחשבת עשייה מדעית משמעותית כאקט יצירתי. בתחומי האמנות והספרות, בדרך כלל מספיק ליצור יצירה יוצאת דופן, אך רעיון או פתרון מדעי יצירתי צריך לא רק להיות חדשני, אלא גם להיות שימושי. ההתקדמות הטכנולוגית בחברה כיום חייבת יצירתיות של אנשי מדע, ותפקידם של מתמטיקאים יצירתיים, אשר הצליחו ליצור תובנות ורעיונות מתמטיים חדשים, הוא קריטי. בספרות המחקרית ישנן כמה הגדרות ליצירתיות מתמטית. מרבית ההגדרות הקיימות ליצירתיות מתמטית מעורפלות או חמקמקות, ואין הגדרה קונבנציונאלית ספציפית ליצירתיות מתמטית (לב-זמיר, 2015).

אחת המטרות של כל מערכת חינוך צריכה להיות טיפוח של אנשים יצירתיים. לכן, משימה חשובה של המחנכים היא לזהות ולפתח יצירתיות בקרב התלמידים. האתגרים בזיהוי ופיתוח היצירתיות נובעים מהמגוון הגדול בהגדרות והתכונות של היצירתיות. הגדרות מסוימות מתייחסות ליצירתיות כאל סגנון חשיבה, חלקן מתרכזות בעיקר בתהליכי היצירה וישנן הגדרות של יצירתיות שמתייחסות לתוצרי היצירה. חשיבה יצירתית יכולה להיחשב כתהליך נפשי דינאמי, כולל חשיבה סדורה והתכנסות. להלן נסקור את ההגדות השונות לחשיבה מתמטית יצירתית (Silver, 1997).

במחקר שבוצע על ידי הרשקוביץ וקלויר (2005), נבדקה השפעתן של שאלות פתוחות במתמטיקה, והשפעתן על התלמידים. המחקר השתמש בשאלה פתוחה אחת, ובדק את השפעתה על תלמידים רבים. המורות שהעבירו את השאלות מתארות שהתלמידים נהנו מאוד לפתור את השאלה. לפי תוצאות המחקר נמצא שהתלמידים מגלים את רמת הידע המתמטי הפעיל. כלומר, איזה ידע מתמטי הם יכולים לגייס כשאין מגדירים להם באיזה פרק לימוד מתמטי יש להשתמש. עוד נמצא במחקר שאצל תלמידים שונים ישנה רמה שונה של זמינות ומוכרות של ידע מתמטי. בנוסף לכך, סוגי מספרים שונים גרמו לדגשים מתמטיים שונים. היצירתיות של התלמידים ניתנת לעיבוד במדדים שונים כמו יכולת שטף, עיבוד, גמישות ומקוריות. המסקנה העיקרית של המחקר היא שמתן כלי של שאלה מתמטית פתוחה יכול לשמש אמצעי חשוב לעידוד חשיבה מתמטית יצירתית.

המחקר של קוון ואחרים (Kwon, Park, & Park, 2006), בדק את השפעתה של גישה פתוחה בלימוד מתמטיקה, על היצירתיות של התלמידים. ממצאי המחקר הצביעו על כך שתלמידים שקיבלו את שיטת הלימוד הפתוחה במתמטיקה, כמו שאלות מתמטיות פתוחות, הראו ביצועים טובים יותר מאשר התלמידים בהשוואה הכוללת, על כל אחד ממדדי כישורי החשיבה והיצירתיות השונים, הכוללים שטף, גמישות ומקוריות. תכנית הלימודים בגישה הפתוחה יכולה להוות משאב שימושי עבור המורים לשיפור כישורי החשיבה היצירתיים של התלמידים שלהם. גישה פתוחה בהוראת המתמטיקה המוצעת במחקר עשויה לספק זירה אפשרית לבחינת הסיכויים והאפשרויות לשיפור היצירתיות המתמטית.

2.1.1.מדדי יצירתיות – שטף פתרונות, גמישות, מקוריות

אחת ההגדרות של יצירתיות מתמטית היא יכולת שטף של רעיונות (Fluency). יכולת שטף מבוסס על רעיונות מרובים לבעיה, במילים אחרות, היכולת לייצר מספר רב של רעיונות לפתרון הבעיה העומדת בפני התלמיד. השטף, ביחס ליצירתיות מתמטית, שונה באופן משמעותי מהמונח שטף פרוצדוראלי המשמש לעיתים קרובות בכיתת המתמטיקה הכללית. שוטפות פרוצדוראלית, כפי שהובנה בכיתה במתמטיקה הכללית, מתארת שימוש בפרוצדורות מדויקות, יעילות וגמישות. זאת בניגוד לשטף כפי שהוגדר בתחום היצירתיות המתמטית כיכולתו של האדם להמציא הרבה תגובות ונתיבי פיתרון שונים לבעיה. לעיתים קרובות, שטף היצירתיות מכמת את מספר התגובות שהתלמיד מסוגל לתת. אם התלמיד היה מסוגל לתת פתרונות מרובים, ללא קשר אם הם היו מקוריים, הרי שיש לו יכולת של שטף יצירתי (Levav-Waynberg, & Leikin, 2012).

עוד הגדרה חשובה של יצירתיות מתמטית היא גמישות. גמישות קשורה ליכולת שמאפשרת לתלמיד לחשוב על הבעיה מהיבטים שונים, ולייצר מגוון רעיונות. גמישות היא אחד האינדיקטורים למדידת היצירתיות של האדם. גמישות היא היכולת לבחור נהלים מתאימים לבעיות מסוימות ולשנות נהלים כאלה. גמישות נפשית מצביעה על יצירתיות מתמטית. ביחס למתמטיקה, גמישות מתייחסת ליכולתו של אדם לשנות נתיבי חשיבה כאשר הוא נתקל במבוי סתום, או חשיבה חסימתית. האדם הבלתי גמיש ימשיך בדרך כלל בדרך מסוימת של פתרון אך ללא הועיל. תלמיד המראה רמות גמישות גבוהות, צפוי לשנות בין נתיבי החשיבה ביעילות, על מנת לגשת לבעיה מכיוון חדש. דוגמה נפוצה לגמישות בחשיבה עשויה להיות חשיבה לאחור מהפתרון לתהליך, או שינוי תוכן במתמטיקה כדי לקבל תובנה נוספת לנתיב פתרונות (Levenson, 2013).

הגדרה נוספת של יצירתיות מתמטית היא מקוריות או חידוש. מקוריות מתייחסת לייצור פתרונות בלתי-צפויים ובלתי שגרתיים. מקוריות קשורה גם ליכולת לתאר, להרחיב ולפתח רעיון ולהתמקד בפרטים. קריטריון המקוריות מציע כי רעיון חדשני במתמטיקה יכול להיחשב כרעיון יצירתי כאשר הוא נתמך על ידי עובדות מתמטיות קודמות. לדוגמה יכול להיות רעיון חדשני במתמטיקה שאינו יצירתי, מכיוון שעובדות מתמטיות רגילות אינן תומכות בו. כמה קריטריונים לרעיונות חדשים במתמטיקה כוללים הבהרה, והיות הרעיון הגיוני, ברור, גורם להבנה ותובנה עמוקים יותר, היותו גורם לגילוי של קשרים מתמטיים לא ידועים, ותוצר היצירתיות צריך להיות מבוסס על ממצאים קודמים וצריך להתיישב עם עובדות מתמטיות ידועות (Levav-Waynberg, & Leikin, 2012; Levenson, 2013).

3.1.1.מאפייני משימות שמעודדות יצירתיות

לפי ספרות המחקר, מחקרים של יצירתיות מתמטית גילו כי ניתן לעודד את החשיבה המתמטית היצירתית של התלמידים, ומדדי היצירה המתמטית, על ידי מתן משימות שונות. הספרות מציעה כלים למורים לנתח ולהעריך את עבודתם של התלמידים כאשר הם מתמודדים עם בעיה פתוחה. כלים אלה התייחסו למדדים של יצירתיות מתמטית וכן לרמת המורכבות בידע המתמטי. ממצאי מחקרים אלה מצביעים כי בעיות פתוחות נוטות להרחיק את התלמיד מהסטראוטיפ כי ישנו רק פתרון אחד לכל בעיה נתונה, ואפשרו לתלמידים להכיר לחשוב בצורה יותר מופשטת יותר (Tsamir, Tirosh, Tabach, & Levenson, 2010) (לב-זמיר, 2016; הרשקוביץ, וקלויר, 2005).

 נמצא גם כי ניתן לטפח חשיבה שונה במתמטיקה בגישה הפתוחה, בעיות פתוחות נמצאו מאתגרות יותר מבחינה קוגניטיבית, מכיוון שאפשרו פרשנויות ופתרונות מרובים והציעו לתלמידים הזדמנות לפתור בעיות תוך שימוש בכישורים שהם רכשו בעבר. פתרון בעיות מסוג זה מאפשר לתלמידים לנקוט בצעדים הראשונים לעבר יצירתיות מתמטית, ומפתח את היצירתיות הזו. מורים זיהו הן הזדמנויות והן אילוצים בהצבת משימות מתמטיות מאתגרות יותר, במיוחד אלה הקשורות לשינויים בפדגוגיות שלהם והערכת עבודת התלמידים. הצבת משימות מאתגרות יחסית לתלמידים, עוזרת אף היא להעלות את היצירתיות המתמטית של התלמיד, ולדחוף את התלמיד לכיוון יצירתיות (Levav-Waynberg, & Leikin, 2012; Tsamir, Tirosh, Tabach, & Levenson, 2010; Kwon, Park, & Park, 2006).

2.1.עבודה בקבוצות ולמידה שיתופית

1.2.1.יתרונות וחסרונות של עבודה בקבוצות

בשנים האחרונות חינוך מתמטיקה הופך חשוב יותר ויותר, וישנם מחקרים רבים שחוקרים את יעילות לימוד המתמטיקה. מחקרים אלה מראים כי זה לא מספיק רק ללמד מתמטיקה, אלא גם חיוני שיהיו מחנכים אשר מסוגלים להפיק את המירב משיעורי המתמטיקה, לעודד את היצירתיות המתמטית, ולהעניק יכולת חשיבה מתמטית. אחת הגישות החינוכיות הנפוצות יותר היא לימוד בקבוצות למידה קטנות, ונשאלת השאלה מהי יעילותה של עבודה בקבוצות, במהלך לימוד שיעורי המתמטיקה. העבודה הקבוצתית מראה שתלמידים יכולים לשפר את חשיבתם הביקורתית ואת כישורי פתרון הבעיות. יתר על כן, הדרך שלהם לבטא את עצמם הופכת טובה יותר. שיטה זו מסייעת לתלמידים ללמוד באופן אינטראקטיבי ויעיל (Leikin, & Zaslavsky, 1997; Levenson, 2011).

ישנם כמה יתרונות לעבודה קבוצתית במתמטיקה. ראשית כל התלמידים לומדים לכבד את דעותיהם של אחרים, ולהיות פתוחים לרעיון שיכולים להיות פתרונות שונים לבעיות מתמטיות, או דרכי חשיבה מתמטיים שונים. יתרון נוסף הוא שכאשר התלמידים לומדים מתמטיקה בקבוצה, הדבר עוזר להם להתגבר על הפחד שלהם לטעות, כאשר התלמיד לומד לבדו הוא עלול לחשוש שהתשובה או דרך החשיבה שלו הן אינן נכונות, אולם כאשר הוא נמצא בקבוצה, הוא מקבל משוב מחבריו לקבוצה, והוא יכול לדעת אם הם חושבים כמוהו, והוא אפילו יכול לראות שגם חבריו יכולים לטעות בדיוק כמוהו. יתרון חשוב נוסף הוא הכרת השקפות עולם שונות, ודרכי חשיבה שונות, תלמיד אשר נחשף לפתרון בעיות מתמטיות ביחד עם חברין לקבוצה, יכול ללמוד שישנן דרכי חשיבה אחרות שאותן הוא לא הכיר בעבר. מצד שני ישנם גם חסרונות לעבודה בקבוצה בשיעורי מתמטיקה, כמו למשל משמעת רופפת של התלמידים, או התקדמות איטית יותר בחומר הנלמד, וזאת בשל האילוץ של לחכות לשאר חברי הקבוצה בפתרון תרגילים (Leikin, & Zaslavsky, 1999; Paulus, & Yang, 2000).

2.2.1.מאפייני האינטראקציה בקבוצה

קבוצת למידה היא יחידה חברתית לימודית, המורכבת משני אנשים או יותר, ושקיימות מערכות יחסים בינם לבין עצמם, והם חולקים ערכים משותפים. יש צורך לתקשר בצורה טובה ויעילה עם כל חברי הקבוצה, על מנת שתפקודה של הקבוצה תהיה אופטימלית, ותגיע למטרות שהוצבו לה. העבודה הקבוצתית מסייעת לא רק בהתפתחות החברתית וההשתנות של התלמיד, אלא גם בתחושת האחריות וההנאה מהלמידה בקבוצה. עבודה קבוצתית היא דרך הלמידה אותה לומדים התלמידים למטרות משותפות בקבוצה מעורבת על ידי עזרה זה לזה. העיקרון הבסיסי בעבודה קבוצתית תלוי בכך שכל אחד צריך לעשות את מה שהוא אמור לעשות, וזה חיוני לתפקוד קבוצתי. כל אחד מחברי הקבוצה צריך להבין שהתפקוד שלו כאינדיבידואל, לא יכול להתעלות על תפקודה של כלל הקבוצה, ולכן הוא לא יצליח להשיג בכוחות עצמו את מה שהקבוצה יכולה להשיג. מהדברים האלה נובע שהאינטראקציה בין התלמידים בקבוצה צריכה להיות מבוססת על אינטראקציה של שיתוף פעולה והדדיות. בנוסף לכך, אי אפשר ליהנות מעבודה קבוצתית אם התלמידים אינם מכוונים למטרה ואין שום תכנון (Towers, & Martin, 2006; Leikin, & Zaslavsky, 1997).

3.2.1.למידה שיתופית במתמטיקה

מתמטיקה נלמדת כאחד הנושאים החשובים בבתי הספר. עם זאת, מצער לציין כי רבים מהתלמידים נתקלים בקשיים משמעותיים במתמטיקה, מה שגורם להם לפתח רגשות שליליים למקצוע. רוב המורים למתמטיקה נוקטים בשיטות ההוראה ללימוד המתמטיקה, אולם יש לשקול שיטות לימוד אלטרנטיביות שיעזרו לתלמידים להתמודד עם הקשיים שלהם במתמטיקה, כמו למידה שיתופית. מה שנדרש היא גישה ממוקדת ושיתופית, כדי לאפשר לתלמידים לעבוד בעצמם עם מעט תמיכה מצד המורים. כאשר המורים מבצעים תהליך הדרכה בכיתה, הלומדים נוטים להיות בהאזנה פסיבית. אין השיעורים יכולים להיות יעילים אלא אם כן יש בהם השתתפות יעילה של התלמידים (Leikin, & Zaslavsky, 1999; Leikin, & Zaslavsky, 1997).

 על מנת לאפשר ללומדים להשתתף בתהליך הלמידה, יש צורך לאמץ סוגים שונים של גישות חדשות הממוקדות בלומדים בכיתה. גישות למידה שיתופיות מאפשרות לכל הלומדים בכיתה לעבוד יחד, ולהגיע לפתרון הסופי על בסיס עבודת צוות. גישות למידה שיתופיות לא רק תורמות להתפתחות אינטלקטואלית של הלומדים, אלא גם תורמות באותה מידה להתפתחות חברתית ופסיכולוגית של הלומד בשונה משיטות הוראה מסורתיות. כך גישת הלמידה השיתופית מגשימה את היעדים האינדיבידואליים והחברתיים של החינוך. בהקשר זה, כל מחקר בגישת למידה שיתופית, במקצוע המתמטיקה, הוא משמעותי ויכול לתרום מאוד לקידום מקצוע המתמטיקה (Leikin, & Zaslavsky, 1999; Leikin, & Zaslavsky, 1997).

4.2.1.יצירתיות קולקטיבית

למידה קולקטיבית מתרחשת כאשר רעיונות ופעולות מתמטיים, שנובעים בתחילה מתלמיד אחד, נבנים ומעובדים מחדש ליצירת פתרון שהוא פרי הקולקטיב. בדומה למאפיינים של יצירתיות מתמטית אינדיבידואלית, כמו שטף, גמישות ומקוריות, יצירתיות מתמטית קולקטיבית עשויה להיות מאופיינת באופן דומה. ישנה גם חשיבות לתפקיד המורה בטיפוח יצירתיות מתמטית קולקטיבית (Levenson, 2011).

מחקרים רבים בדקו דרכים לאפיון, זיהוי וקידום היצירתיות המתמטית. חוקרים העריכו את היצירתיות המתמטית של התלמידים על ידי שימוש בבעיות פתוחות ומדידת מיומנויות חשיבה שונות. מחקרים אלה התמקדו ביצירתיות המתמטית של היחיד, כפי שהוא בא לידי ביטוי בפתרון בעיות שונות. עם זאת, התלמידים בכיתה, אינם בהכרח פועלים לבדם. רעיונות מוחלפים, מוערכים ונבנים על פי רוב, בהדרכת המורה. היצירתיות המתמטית המתקבלת של התלמיד עשויה להיות תוצר של תרגול קהילתי קולקטיבי. השאלה שעולה לאחר מכן היא: מי הוא התלמיד היצירתי מבחינה מתמטית, האינדיבידואל או הקולקטיב? כאשר בודקים את רמת היצירתיות של התלמיד, ראוי לבדוק אותה גם בצורה אינדיבידואלית, וגם לבדוק את היצירתיות הקולקטיבית, שכן התלמידים בדרך כלל לומדים מתמטיקה במסגרת של הקולקטיב קולקטיבית (Levenson, 2011; Towers, & Martin, 2006).

3.1.חשבון וגיאומטריה בכיתה ה׳:

1.3.1.פעולות חשבון במספרים טבעיים

כחלק מתכנית הלימודים במתמטיקה של כיתות ה', התלמידים לומדים פעולות חשבון במספרים טבעיים. במתמטיקה המספרים הטבעיים הם המספרים שמשמשים לספירה או לסדר. במינוח מתמטי נפוץ, מילים המשמשות באופן ספציפי לספירה הן "מספרים קרדינליים" והמילים המחוברות לסדר מייצגות "מספרים מסודרים". המספרים הטבעיים יכולים לפעמים להופיע כמערכת קודים נוחה, כלומר, כפי שבלשנים מכנים זאת מספרים נומינליים, ודבר זה גורם לביטול חלק מהמאפיינים של היותם מספר במובן המתמטי (תכנית הלימודים לפי משרד החינוך מתמטיקה ביסודי).

במסגרת תכנית הלימוד של משרד החינוך, התלמידים לומדים חיבור, חיסור וכפל, כאשר דרך הלימוד של פעולות מתמטיות אלה היא חזרה על החומר, הרחבת הלמידה, ולאחר מכן העמקת הלמידה. כמו כן, יושם דגש על פיתוח תובנה מספרית גם במספרים גדולים (תכנית הלימודים לפי משרד החינוך מתמטיקה ביסודי).

2.3.1.חישוב שטחים

במסגרת תכנית הלימודים המתמטית לכיתה ה', התלמידים לומדים לחשב שטחים גיאומטריים. בנושא זה התלמידים לומדים לזהות את המושגים הבסיסיים בגיאומטריה, כך למשל הם לומדים לזהות את ההבדל בין אורך היחידה ובין שטח היחידה, התלמידים מקבלים צורות גיאומטריות שונות, שנקראות יחידה, והן בדרך כלל בעלות צורות מורכבות יחסית, התלמידים צריכים לזהות מהו היקף או אורך היחידה, ומהו שטח היחידה. במסגרת חישובים האלה התלמידים גם לומדים את יחידות המדידה הבסיסיות, כמו סנטימטרים, וסנטימטרים רבועים, ואת ההיגיון והעקביות שבשימוש בהם (תכנית הלימודים לפי משרד החינוך מתמטיקה ביסודי).

2.מקורות

הרשקוביץ, ש', וקלויר, ר' (2005). הוראה והערכה של "שאלות פתוחות לחלוטין". מספר חזק 2000 ,10 , .52–46  (לתאר את הממצאים)

לב-זמיר, ח' (2015). הפוטנציאל היצירתי הטמון בבעיה לא שגרתית. בתוך א' גזית וד' פטקין (עורכים), יצירתיות בפתרון בעיות במתמטיקה: אסטרטגיות, דילמות וטעויות (עמ' 120-99). תל-אביב: מכון מופ"ת.

לב-זמיר, ח' (2016). בעיית חקר כמנוף לפיתוח יצירתיות. מחקר ועיון בחינוך מתמטי, 3, 92-75.

תכנית הלימודים לפי משרד החינוך מתמטיקה ביסודי. נדלה מ: http://meyda.education.gov.il/files/mazkirut_pedagogit/matematika/tochnyotlemud/kita5.pdf

Kwon, O. N., Park, J. S., & Park, J. H. (2006). Cultivating divergent thinking in mathematics through an open-ended approach. Asia Pacific Education Review, 7(1), 51–61 .

Leikin, R., & Zaslavsky, O. (1997). Facilitating student interactions in mathematics in a cooperative learning setting. Journal for Research in Mathematics Education, 28(3), 331–354.

Leikin, R., & Zaslavsky, O. (1999). Cooperative leaning in mathematics. The Mathematics Teacher, 92(3), 240–246.

Levav-Waynberg, A., & Leikin, R. (2012). Using multiple solution tasks for the evaluation of students' problem- solving performance in geometry. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 12(4), 311-333.

Levenson, E. (2011). Exploring collective mathematical creativity in elementary school. Journal of Creative Behavior, 45(3), 215-234.

Levenson, E. (2013). Tasks that may occasion mathematical creativity: Teachers’ choices. Journal of Mathematics Teacher Education, 16(4), 269-291.

Paulus, P. B., & Yang, H. (2000). Idea generation in groups: A basis for creativity in organizations. Organizational Behavior and Human Decision Processes, 82(1), 86–87.

Silver, E. A. (1997). Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. ZDM: The International Journal on Mathematics Education, 29(3), 75-80.

Towers, J., & Martin, L. (2006). Improvisational coactions and the growth of collective mathematical understanding. In Alatorre, S., Cortina, J.L., Sáiz, M., and Méndez, A. (Eds) (2006). Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 631-638). Mérida, México: Universidad Pedagógica Nacional.

Tsamir, P., Tirosh, D., Tabach, M., & Levenson, E. (2010). Multiple solution methods and multiple outcomes – Is it a task for kindergarten children? Educational Studies in Mathematics, 73(3), 217–231.